Chifoumi - Corrigé

Énoncé

Hugo et Julia jouent au jeu de Chifoumi (Pierre - Feuille - Ciseaux). Julia a observé que :

• si Hugo a joué Pierre à un tour, au tour suivant il joue encore Pierre avec une probabilité de 0,2, Feuille avec une probabilité de 0,5 et Ciseaux avec une probabilité de 0,3 ;
  
• si Hugo a joué Feuille à un tour, au tour suivant il joue Pierre avec une probabilité de 0,5, encore Feuille avec une probabilité de 0,1 et Ciseaux avec une probabilité de 0,4 ;
  
• si Hugo a joué Ciseaux à un tour, au tour suivant il joue Pierre avec une probabilité de 0,4, Feuille avec une probabilité de 0,4 et encore Ciseaux avec une probabilité de 0,2.
  

Au premier tour Hugo a joué Pierre.

1. Justifier que l'évolution du jeu d'Hugo correspond à une chaîne de Markov, dont on donnera la distribution initiale et la matrice de transition.

2. Quelle est la distribution de probabilité du jeu d'Hugo au deuxième tour, puis au troisième tour ?

Solution 

1. Le jeu d'Hugo ne dépend que du tour précédent et les probabilités de transition sont identiques à chaque tour. Il s'agit donc bien d'une chaîne de Markov  \((X_n)_{(n\in\mathbb{N^*})}\)  avec  \(X_1=\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}\)  et la matrice de transition  \(T=\begin{pmatrix}0,2&0,5&0,3\\0,5&0,1&0,4\\0,4&0,4&0,2\end{pmatrix}\)  en prenant les sommets dans l'ordre Pierre - Feuille - Ciseaux.

2. Au deuxième tour, on a  \(X_2=X_1T=\begin{pmatrix}0,2&0,5&0,3\end{pmatrix}\) .
  Au troisième tour, on a  \(X_3=X_2T=\begin{pmatrix}0,41&0,27&0,32\end{pmatrix}\) .